Siapa yang tidak kenal dengan permainan ‘Tic Tac Toe’ ? Dari zaman sekolah rendah lagi kita sudah didedahkan dengan permainan ini kerana tidak memerlukan bahan yang banyak dan permainan ini hanya mengambil masa sekitar 30 ke 60 saat sahaja.
Jika kita lihat, kebanyakan permainan yang ada di dunia ini bersifat adil. Maksud adil di sini adalah setiap pemain mempunyai peluang meraih kemenangan yang sama sebagai contoh permainan catur, dam haji, backgammon, malah sukan-sukan seperti bola sepak, badminton dan lain-lain juga tergolong dalam permainan yang adil. Akan tetapi kita akan lihat bahawa permainan ‘Tic Tac Toe’ ini sebenarnya tidak adil. Mengapa ?
Pernyataan,
Berdasarkan kajian, peratusan kemenangan bagi pemain pertama adalah sebanyak 44.7% dengan 534 cara bagi memenangi permainan ini. Manakala peratusan bagi pemain kedua adalah sebanyak 39.4% dengan 471 cara bagi memenangi permainan ini. Sebanyak 15.9% lagi adalah keputusan seri bagi kedua-dua pemain.
Pemain pertama lebih berkemungkinan memenangi tic tac toe berbanding pemain kedua.
Tetapi kenapa ?
Pembuktian,
Pokok permainan bagi “Tic Tac Toe” 3×3 dibina sehingga gerakan keenam dan kemudian jadual kemungkinan dibina bagi tiga gerakan terakhir. Peraturan biasa akan digunakan bagi pembinaan pokok permainan “Tic Tac Toe” dengan grid 3×3 iaitu setiap pemain akan membuat gerak langkah secara bergilir, masing-masing dengan tanda ‘X’ dan ‘O’. Pemain yang memenuhi 3 tanda serupa sepanjang barisan menegak, melintang ataupun mengufuk dikira pemenang.
Konsep simetri akan diguna pakai bagi setiap gerakan permainan yang masih belum mempunyai pemenang. Bagi pembinaan pokok permainan, gerakan pertama hanya mempunyai 3 gerakan sahaja daripada 9 gerakan kerana mengambil kira kedudukan gerakan yang sama apabila gerakan pada grid tersebut diputar atau dipantulkan seperti dalam rajah 3.1. Nombor bucu ditulis berhampiran dengan setiap gerakan dan nombor yang ditulis di dalam kurungan mewakili pemain pertama atau pemain A dan nombor yang ditulis tanpa kurungan mewakili pemain kedua atau pemain B.
Konsep simetri terpakai apabila kedudukan gerakan oleh kedua-dua pemain adalah serupa apabila bentuk permainan tersebut dipantul atau diputarkan. Rajah di 3.2 pula menunjukkan contoh model yang mempunyai simetrinya apabila dipantulkan atau diputarkan.
Setelah pokok permainan bagi gerakan ketiga dan keempat dibina, terdapat sebanyak 9 gerakan kemungkinan bagi pemain pertama pada gerakan ketiga dan sebanyak 387 gerakan kemungkian bagi pemain kedua pada gerakan keempat dengan pengaplikasian simetri. Rajah 3.3 menunjukkan salah satu bucu bagi gerakan ketiga dan keempat.
Bagi gerakan kelima dan keenam, didapati terdapat sebanyak 186 bucu setelah pengaplikasian konsep simetri. Terdapat juga beberapa bucu yang telah memberikan kemenangan kepada pemain A pada gerakan kelima dan ada juga yang memberikan kemenangan kepada pemain B pada gerakan keenam. Sebagai contoh, kemenangan diraih oleh pemain A pada bucu (73) bagi gerakan kelima dalam Rajah 3.4 di bawah bucu 13. Simbol ‘W’ digunakan bagi mewakili menang(win) kepada pemain A. Dalam Rajah 3.4 di bawah bucu 13 juga dapat diperlihatkan kemenangan kepada pemain B bagi gerakan keenam pada bucu 401.
Simbol ‘L’ digunakan bagi mewakili kalah(lose) kepada pemain A ataupun kemenangan telah berpihak kepada pemain B. Terdapat sebanyak 54 bucu yang memberi kemenangan kepada pemain A pada gerakan kelima dan sebanyak 205 bucu yang memberi kemenangan kepada pemain B pada gerakan keenam. Meskipun terdapat bucu-bucu kemenangan yang mempunyai hasil kedudukan gerakan yang serupa, namun konsep simetri tidak diaplikasikan kerana konsep ini hanya diguna pakai pada peringkat bucu yang masih belum menemukan hasil permainan sama ada menang, kalah atau seri. Hal ini demikian kerana analisis akan dijalankan kepada bentuk bucu yang hampir memberi kemenangan kepada mana-mana pemain sahaja tanpa mengambil kira bentuk kemenangan tersebut.
Dalam permainan “Tic Tac Toe” ini ingin dianalisis mengenai peratusan kemenangan bagi pemain A, peratusan kemenangan bagi pemain B dan peratusan untuk beroleh keputusan seri. Untuk 3 gerakan terakhir bagi bucu-bucu daripada rajah di atas, bucu-bucu berikut akan disenaraikan peluang bagi beroleh kemenangan, kekalahan dan seri. Bucu 400 diambil sebagai contoh seperti dalam Rajah 2.5 di bawah.
Sekarang dapat diketahui dengan jelas mengenai jumlah hasil permainan yang memberikan kemenangan kepada pemain A, kemenangan kepada pemain B dan jumlah hasil permainan yang memberi keputusan seri dengan pengaplikasian konsep simetru terhadap bucu permainan yang bukan bucu terminal. Daripada pokok permainan tersebut, diperoleh jumlah kemenangan kepada pemain A adalah 534. Jumlah tersebut diperoleh dengan menambahkan jumlah kemenangan kepada pemain A pada gerakan kelima iaitu sebanyak 54 dan jumlah kemenangan kepada pemain A pada 3 gerakan terakhir iaitu sebanyak 480.
Seterusnya pengiraan yang sama dikenakan pada pemain B dan memperoleh jumlah kemenangan sebanyak 471. Jumlah diperoleh dengan menambahkan jumlah kemenangan kepada pemain B pada gerakan keenam iaitu sebanyak 205 dan jumlah kemenangan kepada pemain B pada 3 gerakan terakhir iaitu sebanyak 266. Jumlah bagi hasil permainan yang memberikan keputusan seri pula adalah sebanyak 190. Daripada maklumat berikut, adalah tidak benar bahawa hasil permainan “Tic Tac Toe” menjurus kepada seri kerana kedudukan gerakan yang memberikan hasil seri adalah paling sedikit berbanding dengan hasil permainan yang memberikan kemenangan. Permainan “Tic Tac Toe” dengan grid 3×3 juga dapat dibuktikan bahawa pemain A mempunyai peluang kemenangan yang lebih tinggi berbanding pemain B meskipun bentuk kedudukan gerakan telah diaplikasikan konsep simetri bagi setiap bucu yang bukan bucu terminal. Rahsia pertama telah dapat dirungkai daripada pemainan “Tic Tac Toe” dengan peratusan kemenangan kepada pemain A sebanyak 44.7%, peratusan kemenangan kepada pemain B sebanyak 39.4% dan peratusan keputusan seri adalah 15.9%.
Daripada Jadual 4.1, dapat dilihat antara bucu-bucu dengan 3 gerakan terakhir yang memberikan jaminan kemenangan kepada pemain A adalah 409,411,420,423, 447, 450 ,453, 502, 511, 708, 710, 714, 730, 734, 818, 1124, 1126, 1475, 1510, 1551 dan 2022. Dapat dilihat bahawa gandingan gerakan pada bucu dan tengah memberikan peluang kepada pemain A selaku pemain pertama untuk mengawal permainan. Hal ini demikian kerana pemain A yang membuat gerakan pertama atau boleh ditafsirkan sebagai penyerang. Maka terbukti gerakan pertama sama ada di bahagian tengah grid atad di bucu grid adalah yang terbaik berbanding membuat gerakan pertama di bahagian sisi grid.
Kemudian, bagi menjamin kemenangan kepada pemain B pula dapat dilihat daripada bucu-bucu dengan 3 gerakan terakhir antaranya adalah 820,879,1042 dan 1731. Sekali lagi, gerakan pada bahagian tengah grid dan bahagian bucu grid mampu memberi jaminan kemenangan kepada pemain B. Memandangkan pemain B adalah pemain dengan membuat gerakan genap, maka pemain B perlu memastikan pemain A tidak membuat gerakan di bahagian tengah dan di bahagian bucu untuk mengelakkan jaminan kemenangan kepada pemain A.
Setelah dijalankan analisis terhadap setiap model permainan, didapati bahawa peratusan bagi meraih kemenangan kepada pemain A dengan pengaplikasian konsep simetri adalah sebanyak 44.7% dan peratusan bagi meraih kemenangan kepada pemain B dengan pengaplikasian konsep simetri adalah sebaganyak 39.4%. Dapat ditunjukkan bahawa pemain A mempunyai kadar peratusan yang lebih tinggi dengan jumlah kemenangan keseluruhan dengan pengaplikasian konsep simetri sebanyak 534 berbanding pemain B yang hanya dengan jumlah kemenangan keseluruhan dengan pengaplikasian konsep simetri sebanyak 471. Ternyata pemain A mempunyai peluang yang lebih tinggi dari pemain B dan dapat disimpulkan bahawa permainan “Tic Tac Toe” ini adalah bias.
Seterusnya, peratusan bagi meraih hasil seri dalam permainan “Tic Tac Toe” dengan pengaplikasian konsep simetri adalah sebanyak 15.9% dengan jumlah bucu keseluruhan sebanyak 190. Maka andaian kita bahawa permainan ini lebih banyak menghasilkan keputusan seri adalah tidak tepat kerana analisis di atas menunjukkan peratusan seri adalah lebih rendah berbanding peratusan untuk peroleh kemenangan bagi pemain A dan pemain B dengan syarat strategi yang digunakan oleh kedua-dua pemain mestilah strategi tulen.
Hal ini demikian kerana grid-grid ‘Tic Tac Toe’ bagi 3×3 mempunyai 9 kotak kesemuanya. Jika diandaikan bahawa kotak-kotak tersebut dimainkan sehingga tiada lagi ruang kosong, maka sebenarnya pemain pertama mempunyai 5 gerakan manakala pemain kedua mempunyai 4 gerakan sahaja. Ini memang tidak adil. Tetapi, kenapa pula realitinya kita sering meraih keputusan seri sedangkan peratusan bagi meraih keputusan seri hanya 15.9% ?
Ini pula kerana terdapat konsep ‘complete information’ di mana setiap pemain tahu akan akibatnya jika mereka membuat langkah demi langah dalam permainan tersebut. Oleh kerana kita sering memainkan permainan ini, maka kita sudah tahu apa akan terjadi seterusnya. Maka pemain pertama sudah memiliki strategi yang terbaik iaitu dengan mengatur langkah awal sama ada di kotak tengah atau kotak bucu, manakala pemain kedua hanya akan membuat langkah untuk tidak membenarkan pemain pertama memenangi permainan tersebut. Akhirnya, keputusan akan menjadi seri.
Peratusan di atas hanya akan diperoleh jika kedua-dua pemain tidak pernah atau pertama kali memainkan permainan ini. Berkemungkinan juga jika kedua-dua pemain tersebut pernah main tetapi hilang ingatan, maka pastinya pemain yang membuat langkah pertama akan meraih kemenangan.
Kesimpulan
Kesimpulannya, permainan “Tic Tac Toe” bagi 3×3 bersifat tidak adil kerana memberi kelebihan gerakan kepada pemain pertama berbanding pemain keduan. Namun, ada tak cara untuk menjadikan permainan ini adil ? sebab itulah kita pernah melihat ‘Tic Tac Toe’ dengan bentuk 4×4 yang akhirnya memberikan pemain pertama sebanyak 12 langkah dan pemain kedua juga sebanyak 12 langkah dan ini adalah salah satu solusi bagi menjadikan permainan ini lebih adil.
