Kenapa Ada Nombor Khayalan Dalam Matematik?

Sejak dari bangku sekolah lagi kita telah di ajar tentang nombor. Bermula dengan konsep “sa”, “puluh” dan “ratus”, kita kemudiannya berkenalan dengan pelbagai jenis nombor lain, seperti nombor bundar, pecahan, nombor perpuluhan, nombor negatif dan nombor tak rasional yang tak boleh ditulis sebagai nombor biasa (seperti pi dan nombor euler).

Kesemua nombor ini, pada satu tahap, kelihatan seperti sudah mencukupi untuk memuatkan segala ilmu matematik yang kita ada, kan?

Dengan mengetahui konsep tambah, tolak, darab dan bahagi antara nombor-nombor yang kita ada, kita boleh mengira hampir kesemua topik dalam matematik asas. Justeru, ahli matematik pada zaman dahulu percaya, selepas kelahiran pelbagai jenis nombor yang telahpun disebutkan tadi, tiada lagi keperluan lain untuk menambah jenis nombor yang baharu.

Ternyata mereka silap.

Bercakap mengenai Matematik, topik kira-kira bukanlah satu-satunya cabang utama dalam Matematik. Selain dari operasi asas Matematik (iaitu tambah, tolak, darab dan bahagi), Algebra juga merupakan salah satu cabang utama Matematik yang diajarkan kepada kita apabila kita mula melangkah masuk ke sekolah menengah.

Algebra, pada dasarnya, merujuk kepada cabang Matematik yang berkaitan dengan manipulasi persamaan dan simbol (yang ramai orang cakap mereka tak suka Matematik sebab dia dah mula takde nombor, dia ada huruf je. Ini semua salah Algebra!). Dengan kemahiran asas Algebra, kita boleh mula memahami persamaan-persamaan asas, persamaan fizikal seperti luas bulatan (Luas Bulatan = pi x jejari2) atau luas segi empat (Luas Segi Empat = Lebar x Tinggi). Dengan pemahaman persamaan fizikal ini pula, kita boleh aplikasikan dalam kehidupan seharian kita.

Salah satu idea utama dalam algebra adalah untuk mencari nilai bagi pembolehubah (contohnya x dan y). Sebagai contoh, sekiranya 3x – 2 = 4, dengan menggunakan konsep asas dari algebra,

kita boleh mengira bahawa nilai bagi x sebenarnya adalah 2. Kira-kira ini agak mudah, bukan?

Nilai yang ‘tidak wujud’

Namun ahli Matematik, sewaktu mengkaji algebra, terjumpa dengan beberapa situasi di mana nilai pembolehubah tersebut tidak dapat ditemukan. Sebagai contoh, cuba anda selesaikan persamaan di bawah ini:

Melihat kepada persamaan di atas, mungkin naluri awal anda akan mengatakan “Jawapan dia mesti 3, sebab 3 kuasa 2 adalah 9”.

Kalau itu adalah jawapan anda, jawapan anda sebenarnya.. adalah salah. Hal ini kerana 3 kuasa 2 boleh ditulis semula sebagai 3 darab 3, dan 3 darab 3 adalah 9, sedangkan jawapan yang di sebelah kanan adalah –9 (nombor negatif).

Begitu jugalah kalau anda menganggap bahawa nilai bagi y adalah -3, hal ini juga adalah salah kerana -3 darab -3 akan membawa kepada 9, yang masih lagi merupakan satu angka yang positif.

Maka, dalam usaha ahli Matematik untuk mencari jawapan bagi soalan Algebra seperti ini, mereka telah mencipta satu sistem nombor baru, iaitu nombor yang kini lebih dikenali sebagai nombor khayalan (imaginary number). Nombor khayalan diberikan definasi seperti berikut:

Dan dengan kemunculan nilai khayalan inilah baru kita mampu menyelesaikan masalah yang kita ada tadi.

Perlu diberi perhatian bahawa pada asalnya, ahli Matematik kurang senang dengan idea memberi nilai punca kuasa 2 kepada nombor -1 sebagai satu nombor yang wujud.

Hal ini kerana, salah satu aplikasi awal kepada kuasa dua adalah luas segi empat tepat (lebar darab panjang) yang selalunya wujud sebagai formula . Sekiranya anda mengambil nilai nombor khayalan sebagai satu bentuk nombor yang betul wujud, maka anda juga perlu fikirkan apa akibatnya sekiranya kita ada satu segi empat dengan sisi , yang akan mengakibatkan luas kepada segi empat kita mempunyai luas sebanyak -1.

Contoh bagi luas segi empat dengan nilai sisi S. Nilai luas bagi segi empat ini adalah S^2

Eh, segi empat apa pula ada luas negatif satu?

Justeru, apabila idea nombor khayalan ini diusulkan, ramai ahli Matematik yang menolak idea itu. Antara yang mahsyur menolaknya adalah Rene Descartes, antara individu pertama yang menggunakan istilah “Khayalan” untuk nombor ini kerana dia kurang senang dengan konsep nombor ini.

 “[…] sometimes only imaginary, that is one can imagine as many as I said in each equation, but sometimes there exists no quantity that matches that which we imagine.” – Descartes

Meskipun kurang senang, masih ramai ahli Matematik yang menggunakan idea nombor khayalan ini dalam pengiraan mereka, terutamanya dalam bidang Trigonometry yang melibatkan pengiraan sudut.

Antara ahli Matematik terkenal yang memahsyurkan penggunaan nombor khayalan adalah Abraham De Moivre yang memperkenalkan formula DeMoivre, dan Leonhard Euler yang memperkenalkan persamaan Euler. Persamaan Euler kini dianggap salah satu persamaan paling cantik dalam Matematik, dan sangat besar aplikasinya dalam trigonometri.

Individu yang menjadikan nombor khayalan sebagai satu nombor yang diterima pakai oleh ahli Matematik ialah Caspar Wessel pada tahun 1799, yang mengusulkan satu cabang Matematik baharu, yang dipanggil nombor kompleks (terdiri dari nombor nyata dan nombor khayalan).

Carl Friedrich Gauss, seorang lagi ahli Matematik ternama pada zaman itu, turut menyambung kerja Wessel, dengan komentarnya yang tersendiri mengenai nama “khayalan” yang baginya agak menyeleweng.

If one formerly contemplated this subject from a false point of view and therefore found a mysterious darkness, this is in large part attributable to clumsy terminology. Had one not called +1, ?1, ??1 positive, negative, or imaginary (or even impossible) units, but instead, say, direct, inverse, or lateral units, then there could scarcely have been talk of such darkness. – Gauss

Kegunaan Nombor Khayalan

Meskipun namanya agak menyeleweng kerana memberi gambaran bahawa nombor ini seperti tidak wujud dan sekadar khayalan, nombor khayalan sebenarnya memainkan peranan yang amat besar dalam bidang Matematik, Fizik dan Kejuruteraan. Terdapat satu bidang khusus yang dicipta untuk mempelajari nombor khayalan, yang dipanggil Analisis Kompleks (Complex Analysis).

Nombor khayalan paling banyak digunapakai dalam pemprosesan signal (signal processing), di mana signal yang ditukarkan kepada signal digital selalunya akan melalui Analisis Fourier, salah satu bentuk analisis matematik bersandarkan kepada konsep trigonometri.

Contoh Analisis Fourier bagi gitar bass yang dipetik pada open string not A (55 Hz).

Selain dari Analisis Fourier, nombor khayalan juga digunapakai dalam kejuruteraan elektrik dan elektronik, di mana ia digunakan bagi menganalisa voltan dan arus bagi sesuatu litar, terutamanya dalam litar arus bolak-balik (alternating current).

Studying the Phasor Diagram Diagram,Studying,the,waveform1,Phasor GIF
Contoh dalam kejuruteraan elektrik, rajah yang dipanggil Phasor Diagram. Formula bagi rajah ini melibatkan nombor khayalan.

Selain dari kejuruteraan, nombor khayalan juga turut muncul dalam budang fizik, seperti bidang Dinamik Bendalir bagi menerangkan aliran cecair (potential flow). Satu lagi bidang yang menggunapakai nombor khayalan adalah bidang Fizik Kuantum, di mana nombor ini tiba-tiba muncul dalam salah satu persamaan asas Fizik Kuantum, iaitu Persamaan Schroedinger.

Persamaan Schroedinger bagi partikel bebas dalam satu dimensi. Lihat di sebelah kanan, mana datang nombor khayalan, i tu?

Rujukan:

A brief history to imaginary numbers”, (June 2019). Science Focus.

What is Algebra?”, (March 2016). Live Science

“An Imaginary Tale: The Story of ??1”, (2007). Princeton University Press.

Imaginary AC Circuits aren’t really Complex”, (2017). HACKADAY

Total
73
Shares
Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Related Posts