Mesti semua pernah dengarkan kata-kata ni, “Jangan benci sangat, nanti yang tu yang kita kena hadap selalu.” Ataupun, “Bencilah, nanti mesti suka.”
Hah. Pernahkan? Percaya tak yang ayat tu sedang jadi kenyataan sekarang? Agak ramai yang tidak suka memeningkan kepala dengan konsep Matematik, tapi sekarang hampir seluruh rakyat Malaysia mempraktiskan kefahaman Matematik itu.
Setiap hari kita perlu hadap graf R-naught untuk faham kadar kebolehjangkitan COVID-19 sekarang. Setiap hari kita ambil tahu tentang angka jangkitan harian. Setiap hari kita kira, berapa hari lagi nak dapat vaksin dan boleh nak keluar dine-in selepas selesai dua dos. Setiap hari kita baca berita dan cuba memahami isu semasa dengan menggunakan logik matematik secara tidak sedar. Setiap hari kita disiplinkan diri dan ahli keluarga di rumah dalam aspek penggunaan elektrik, air dan seangkatan dengannya menggunakan konsep matematik. Dan banyak lagi keadaan lain sebenarnya.
https://covid-19.moh.gov.my/terkini/2021/08/situasi-terkini-covid-19-di-malaysia-24082021
Perasan tak hampir semua keadaan semasa kita berkait rapat dengan ilmu Matematik, walaupun konsep yang ringkas. Perasan tak? Perasan tak? (nada excited)
Mesti ada yang tak perasankan. Jadi, bila dah perasan ni, amacam? Rasa bijak sikit tak?
Maka, satu fakta yang kita kena terima bahawa ilmu matematik itu penting dan sedang teraplikasi di sekitar kita secara sedar ataupun tidak sedar.
Untuk huraian selanjutnya, saya nak bawa satu kajian aplikasi matematik yang mungkin agak pelik dan langsung tak terlintas di minda kita. Tapi, kebanyakan daripada kita mengaplikasinya, terutamanya golongan yang bekerja dan golongan anak muda. Tidak mustahil akan ada yang berfikir,
“Ini pun nak fikir. Pelik-pelik betul orang Matematik ni.”.
Jom sama-sama kita tengok tahap kepelikannya.
KAJIAN PELIK
Berikut merupakan masalah awal kajian ini.
“Ketika kita meletakkan laptop di atas meja, kita pasti meletakkannya dengan hati-hati supaya tidak jatuh. Tetapi, kekadang meja kita pasti dipenuhi dengan barang-barang lain. Lalu, apakah minimum luas meja yang diperlukan supaya laptop tersebut dapat diletak dengan seimbang tanpa perlu menurunkan barang-barang tersebut?”
Masalah ini ditimbulkan oleh Burkard Polster, salah seorang ahli matematik di Universiti Monash, Australia. Disebabkan beliau berhadapan dengan masalah ini hampir setiap hari, maka, beliau cuba mendapatkan solusinya dan telah menerangkannya dengan terperinci dalam sebuah artikel yang telah dikeluarkan pada tahun 2018.
Berikut sedikit petikan awal daripada artikel beliau,
I often work on my laptop in bed. When needed, I park the laptop on the bedside table, where the computer has to share the small available space with a lamp, books, notes, and heaven knows what else. It often gets quite squeezy.
Being regularly faced with this tricky situation, it finally occurred to me to determine once and for all how to place the laptop on the bedside table so that its “footprint” – the area in which it touches the bedside table – is minimal. In this note I give the solution of this problem, using some very pretty elementary mathematics.
Sebagai seorang manusia di luar bidang ini, sudah tentu kita hanya cuba sahaja meletakkan laptop tersebut di sisi mana yang dilihat sesuai dan stabil. Paling mudah, alihkan sahaja barang-barang tersebut. Tak perlu penat-penat fikir. Kan?
Lalu, bagaimana Burkard Polster selesaikan masalah ini secara matematiknya? Jom kita tengok.
PENERANGAN
Terdapat tiga langkah utama yang dilakukan oleh pengkaji :
Pertama sekali, pengkaji membuat tiga anggapan. Pertama, bentuk laptop dan meja adalah segi empat tepat. Kedua, pusat graviti laptop adalah di titik tengahnya. Ketiga, lebar laptop itu ialah 1 unit.
Kemudian, pengkaji mempertimbangkan semua kawasan yang apabila diletakkan laptop tidak menjatuhkan meja, inilah kawasan tepat di mana titik tengah laptop juga merupakan titik meja.
Seterusnya, pengkaji cuba menentukan antara kawasan tersebut, yang manakah kawasan “footprint” laptop yang mempunyai keluasan minima. “Footprint” di sini bermaksud, kawasan yang meliputi laptop dan meja.
Rajah 1 ini menunjukkan jawapan optimum bagi masalah ini kerana titik tengah laptop akan bertepatan dengan salah satu bucu meja dan menghasilkan “footprint” berbentuk segi tiga sama kaki.
Pembuktian dilakukan dengan dua keadaan. Pertama, pengkaji mempertimbangkan kawasan yang mana titik tengah laptop bertepatan dengan salah satu sudut meja, dan membuktikan bahawa antara kawasan tersebut terdapat kawasan yang mempunyai luas “footprint” terkecil. Kemudian, pengkaji memanjangkan hujah, membuktikan bahawa mana-mana kawasan yang titik tengah laptop bukan di titik sudut meja mesti mempunyai luas “footprint” yang lebih besar.
Rajah 2 ini menunjukkan keadaan di mana pengkaji memotong segi empat sama kepada empat kepingan kongruen yang menunjukkan luas “footprint” akan sentiasa ¼ sekiranya laptop berbentuk segi empat sama diletakkan di bucu sebuah meja yang besar, tidak kisah bagaimana keadaan orientasinya.
Kemudian, Rajah 3 menunjukkan keadaan laptop berbentuk segi empat tepat dengan titik tengahnya di bucu sebuah meja besar. Kawasan “footprint” ditandakan dua warna iaitu biru dan merah. Seperti keadaan sebelum ini, apabila laptop tersebut diputarkan, maka kawasan biru akan kekal wujud, tetapi kawasan merah akan hilang di sesetengah kawasan seperti dalam rajah di belah kanan. Maka, pengkaji menyimpulkan bahawa keadaan simetri laptop ini secara unik telah menghasilkan “footprint” dengan luas yang paling minimum.
Hujah-hujah ini terpakai selagimana apabila bentuk segi empat sama itu diputar dan tidak akan mengenai sisi meja yang lain. Memandangkan sisi pendek laptop mempunyai panjang 1, maka paling pendek jarak sisi meja perlulah sekurang-kurangnya1/
seperti yang ditunjukkan dalam rajah 4.
Sekarang, pengkaji cuba meyakinkan bahawa “footprint” paling minima mesti di satu kawasan di bucu meja. Maka, pengkaji memulakan dengan sebuah meja yang sekurang-kurangnya mempunyai lebar yang sama dengan pepenjuru segi empat sama seperti yang ditunjukkan di rajah 5. Meja ini mempunyai panjang sisi . Dengan meletakkan laptop di mana sahaja di atas meja tersebut, kemudian pengkaji cuba mendapatkan kawasan yang menunjukkan dua garis berserenjang yang memotong kawasan segi empat sama laptop itu selari dengan sisi meja.
Seperti yang kita lihat, dua garis berserenjang itu memotong segi empat sama laptop kepada 4 kepingan kongruen. Walaubagaimana orientasinya dan di mana kawasan laptop itu ditempatkan, sekurang-kurangnya satu daripada kepingan kongruen itu akan menjadi sebahagian daripada kawasan “footprint”. Melainkan jika titik tengahnya berada di sudut meja, kawasan segi empat sama suku-persegi ini jelas tidak menjadi sebahagian daripada “footprint” secara penuh.
Seterusnya, pengkaji cuba berhujah dengan menggunakan meja yang mempunyai sisi sekurang-kurangnya I unit lebar yang akhirnya menghasilkan satu teorem. (Teorem dikekalkan dalam Bahasa Inggeris supaya pembaca lebih jelas dengan makna asal pengkaji.)
Theorem 1 Consider a laptop that is 1 unit wide and a table that is at least 1 unit wide. If the laptop is not a square, then the placement of the laptop on the table that gives the smallest footprint is shown in Figure 1. If the laptop is a square, then the minimal area footprints are for placements for which the midpoint of the laptop coincides with a corner of the table.
KESIMPULAN
Wah, meletup otak! Nak selesaikan masalah ni pun, bukan main kompleks solusinya. Patutlah ramai ahli matematik atau geng genius ni botak. (Eh, apa kena-mengena? Tiberr)
Haa. Pelik tak? Sebenarnya taklah pelik mana kan. Cumanya, pelik bila benda mudah, buat apa nak fikir susah-susah. Inipun saya tak lanjutkan kepada pembuktian penuh yang lebih kompleks. Kalau korang nak fahami dengan lebih terperinci, boleh dapatkan PDF kajian ini di google. Tajuknya saya lampirkan di bahagian rujukan.
Kalau korang nak tahu, daripada kajian permasalahan seringkas inilah yang membawa kepada kajian-kajian lain yang lebih besar dan diperlukan untuk kecanggihan teknologi sekarang demi memenuhi keperluan kehidupan manusia.
Oleh yang demikian, Prof. Hadi Susanto menyebut di dalam bukunya “Tuhan Pasti Ahli Matematika” bahawa,
“Selama manusia masih berpikir dan kehidupan masih berkembang, akan selalu ada yang baru dari matematika.”
Hebat kan siapa ahlinya? Tanpa kita kenali diri mereka, biarpun yang hidup ratusan tahun dahulu mahupun sekarang, jasa dan ilmu mereka terus mengalir dan diaplikasikan oleh manusia seluruh dunia dan setiap zaman.
Dan sudah tentu, kehebatan ini merupakan cebisan ilmu Dia Yang Maha Hebat. Sesungguhnya Allah yang menganugerahkan ilmu ini kepada manusia untuk terus memakmurkan dunia ini dengan kebaikan dan kebijaksanaan.
Maka, berhati-hatilah dan jangan pernah sombong dengan ilmu yang kita ada. Terus bersyukur dan memanfaatkan setiap ilmu yang dimiliki dengan sebaiknya.
RUJUKAN DAN BACAAN LANJUT :
- Minimizing the footprint of your laptop (on your bedside table), Burkard Polster. (2018)
- Buku Tuhan Pasti Ahli Matematika, Hadi Susanto.
