Dalam sains atau kejuruteraan, simbol merupakan satu perkara yang agak membingungkan. Terkadang satu simbol yang sama memberi maksud yang sama. Sebagai contoh simbol V, boleh memberi maksud halaju dan isi padu. Simbol P pula terkadang memberi maksud tekanan dan terkadang memberi maksud kuasa bahkan turut digunakan untuk momentum.
Mungkin boleh dikatakan simbol terlalu sedikit untuk menzahirkan parameter yang berbagai-bagai dan bermacam-macam. Jadi tidaklah menghuraikan jika apabila sudah habis huruf roman digunakan, muncul pula huruf-huruf Greek. Tidak cukup dengan itu, subscript dan superscript turut digunakan disamping simbol dot.
Bahkan jika dilihat pada simbol huruf Greek, terdapat simbol yang pelik dan susah untuk ditulis secara manual, x (disebut dengan ksi), z(disebut dengan zeta), V(disebut dengan sigma). Namun tidak segalanya buruk atau memayahkan. Seperti wira pada kisah ini, iaitu Nabla, iaitu simbol segi tiga terbalik, Ñ. Simbol ini pertama kali digunakan oleh William Rowan Hamilton (1805-1865) pada tahun 1853 di kuliah mengenai Quaternions.
Sebelum kita pergi jauh mengenai kegunaan simbol ini, mari kita lihat satu persamaan yang cukup terkenal dalam bidang Mekanik bendalir.
Persamaan Keterusan diberi oleh,
Persamaan Momentum Komponen-x diberi oleh
Persamaan Momentum Komponen-y diberi oleh
Persamaan Momentum Komponen-z diberi oleh
Persamaan ini dikenali sebagai Persamaan Navier-Stokes mengambil sempena dua orang Claude-Louis Navier (1785- 1836) dan George Gabriel Stokes (1819- 1903). Mungkin ada yang akan merasa panik atau tertekan dengan persamaan ini, namun perlu diketahui persamaan ini adalah bentuk persamaan Navier-Stokes yang sudah diringkas dengan menganggap aliran keadaan mantap (steady-state flow) dan ketumpatan adalah tidak termampatkan (incompressible).
Persamaan sahaja sudah cukup menghilangkan ketenteraman jiwa, kerana ianya dalam bentuk persamaan pembezaan separa (partial differential equation) dan mempunyai kuasa dua. Namun jika kita lihat persamaan yang lebih umum untuk Navier-Stokes ini ianya adalah lebih panjang dan lebih rumit. Bahkan persamaan di atas ini dalam bentuk koordinat cartesian, belum kita lihat lagi Navier-Stokes dalam koordinat silinder atau dalam koordinat sfera, akan mungkin akan menangis. Maka tidak menghairankan jika persamaan ini termasuk salah satu dari tujuh persamaan dalam kategori Millennium Prize Problems. Di mana Clay Mathematics Institute akan menganugerahkan wang sebanyak USD 1,000,000 bagi sesiapa yang berjaya menyelesaikannya.
Di sini munculnya peranan simbol Nabla, agar persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk yang kurang menakutkan. Bagi Persamaan Keterusan di atas dapat kita tukar kepada,
Manakala persamaan Momentum bagi ketiga-tiga paksi boleh kita rangkum dalam
Meskipun masih seram, namun persamaan ini lebih ringkas dari sebelumnya. Di sini Nabla memainkan peranan yang sangat istimewa kerana ianya dapat memendekkan persamaan tanpa menghilangkan maksud persamaan tersebut. Di mana Nabla adalah,
Nabla sebenarnya mempunyai tiga fungsi.
Sebagai contoh Hukum Fourier untuk pengaliran haba yang diberikan oleh,
Persamaan ini kita boleh tulis sebagai,
Grad adalah operator matematik yang melibatkan skalar. Ianya digunakan untuk mengukur kadar perubahan suatu fungsi skalar. Jika kita lihat pada persamaan Navier-Stokes di atas turut mempunyai operator Grad ini. Dapatkah anda mengesannya?
Sebagai contoh Hukum Gauss untuk Graviti diberikan oleh,
Persamaan ini kita boleh tulis sebagai,
Div adalah operator matematik yang melibatkan vektor. Ianya digunakan ketika kita ingin mengukur kadar perubahan di dalam vektor tersebut. Div ini turut ada di dalam persamaan Navier-Stokes di atas.
Sebagai contoh persamaan Elektromagnetisme Maxwell yang diberikan oleh,
Komponen x
Komponen y
Komponen z
Persamaan ini boleh kita rangkumkan dengan menjadi
Curl adalah operator matematik yang melibatkan vektor. Ianya digunakan ketika kita ingin menilai kekuatan vektor tersebut.
Sebenarnya masih terdapat beberapa rakan karib kepada Nabla yang mampu memberi pertolongan di saat-saat yang memerlukan. Sebagai contoh Persamaan Navier-Stokes dengan menganggap aliran keadaan tidak mantap (unsteady-state flow) dan ketumpatan adalah termampatkan (incompressible), persamaan akan menjadi,
Kita dapat lihat persamaan ini sedikit berbeza dengan Navier-Stokes di atas kerana alirannya berbeza sedikit, iaitu aliran tidak mantap (unsteady). Untuk memendekkan lagi persamaan di atas, Nabla telah memanggil rakannya, Terbitan material (Material derivative) yang di definisikan sebagai,
Maka persamaan Naviers-Stokes di atas dapat berubah menjadi,
Menarik bukan? Maka janganlah takut dengan simbol-simbol matematik kerana selalunya ia datang dengan niat baik untuk membantu menghilangkan kekusutan anda melihat persamaan yang panjang berjela dan rumit.
Bagi sesiapa yang ingin mencuba menyelesaikan permasalahan milennium lain, bolehlah lihat keterangan lanjut di sini: https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/
Artikel ditulis oleh Tuan Nurudin Abdul Settar, Pensyarah Bidang Kejuruteraan.
RUJUKAN
[1] Florian Cajori, A history of mathematical notations. New York: Dover Publications, 1983. [2] Y. A. Cengel and J. M. Cimbala, Fluid mechanics?: fundamentals and applications. McGraw Hill Education, 2018.Kredit gambar: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=Zg6GfgI-OwQ
