Kadang kala matematik dan fizik bersekongkol dalam hal yang kita tak pernah jangkakan. Kadang kala ia terlalu berkebetulan, sampai kita rasa ia tidak lain ia adalah satu magis.
Sekarang, ayuh kita bermain satu permainan pong matematik.
Bayangkan kita ada dua bongkah. Satu bongkah bergerak menuju ke bongkah lagi satu yang tidak bergerak, melanggar bongkah tersebut, yang kemudian melanggar pula dinding, melantun, dan mengulang proses tersebut sehingga kedua – dua bongkah tidak lagi akan bertemu.
Sekarang permainannya adalah : kira berapa kali berlaku pelanggaran.
Dalam situasi di atas, pelanggaran antara 2 bongkah dengan jisim 1 kg setiap satu menghasilkan 3 pelanggaran (collision)
Oh, bayangkan juga simulasi ini berlaku dalam dunia ideal, yang tiada geseran, dan tiada tenaga yang hilang daripada pelanggaran. Bermakna setelah berpisah, bongkah tersebut akan bergerak selama – lamanya. Ya, situasi ini tidak wujud di dunia sebenar, tapi layankan saja.
Sekarang, apa akan jadi jika kita naikkan jisim bongkah kanan kepada 100 kg?
Jumlah pelanggaran kini meningkat kepada 31 (Durasi Gif tak cukup panjang nak tunjuk pelanggaran terakhir). Bagaimana pula jika kita naikkan jisim bongkah pertama kepada 10000 kg?
Jumlah pelanggaran adalah 314 (termasuk satu pelanggaran akhir dengan dinding). Jika kita naikkan lagi jisim bongkah kepada 1000 000 kg, kita akan dapat melihat satu corak yang aneh:
Nombor pelanggaran kini adalah 3141. Bagi mereka yang cerdas, kalian pasti sedar bahawa nombor ini sangat mirip dengan nombor pi.
? = 3.14159265359 ….
Tak percaya? Ayuh kita naikkan lagi jisim bongkah:
Bagi jisim 100,000,000kg, jumlah pelanggaran adalah sebanyak 31415, manakala bagi jisim 10,000,000,000 kg, jumlah pelanggaran adalah sebanyak 314159.
Ternyata ia memang nombor pi!
Malah menggunakan simulasi ini, kita boleh mengira bilangan digit
?, d , dengan mengira bilangan pelanggaran yang dihasilkan oleh bongkah dengan jisim 100^(d-1)
Contoh, untuk mengira 20 digit pi, bongkah tersebut perlu memiliki jisim seberat 100^19 kg, iaitu 10 kali ganda jisim lubang hitam supermasif! Dan anda perlu mengira pelanggaran sebanyak 31415926535897932384 kali!
Tapi itu satu hal, soalan yang lagi sesuai adalah:
MACAM MANA BOLEH ADA NOMBOR PI DEKAT SINI????
Daripada Fizik kepada Geometri
Ringkasnya, kita dapat buktikan bahawa simulasi bongkah melantun tersebut membentuk pelanggaran dengan jumlah pi dengan cara menterjemah dinamik fizik kepada geometri.
Simulasi tersebut adalah tertakluk kepada dua persamaan fizik di bawah:
- Persamaan pemeliharaan tenaga
- Persamaan pemeliharaan momentum
Kita kemudian boleh menterjemah kedua – dua persamaan tersebut kepada diagram fasa (phase diagram) berbentuk bulat:
Diagram bagi situasi pelanggaran pula kemudian dapat dipetakan seperti di bawah:
Sekarang, kita boleh mengubah soalan kita daripada mengira jumlah pelanggaran, kepada soalan:
Berapa kali kita boleh menambah 2? dengan dirinya, sebelum ia melebihi 2? (ukur lilit bulatan)?
2? + 2? + 2? + 2? . . . + 2? < 2?
N . ? < ?
Di mana N adalah nilai integer terbesar sebelum jumlah darab dengan
? melebihi ? .
Tak faham? Jangan risau artikel ini bukanlah berniat untuk menerangkan panjang lebar tentang penyelesaian matematik tersebut.
Jika anda berminat, dijemput tontoni penjelasan terperinci menerusi video ini:
Anda juga boleh membuat simulasi sendiri melalui pautan di bawah. Selamat mencuba!
https://prajwalsouza.github.io/Experiments/Colliding-Blocks.html
