Kisah menarik wujudnya cabang Teori Graf dalam Matematik!

Di Malaysia, topik Teori Graf masih belum diperkenalkan di peringkat sekolah sehinggalah pada tahun 2020. Rangkaian dalam Teori Graf telah dimasukkan sebagai satu topik dalam silibus Matematik KSSM Tingkatan 4 bawah bidang pembelajaran sukatan dan geometri.

Saya agak terkejut apabila satu topik yang baru saya belajar di peringkat Ijazah dalam bidang Matematik dahulu, sudah diperkenalkan pada adik-adik di peringkat sekolah sekarang. Sewaktu peringkat ijazah itupun, subjek ini diambil mengikut pilihan pelajar dan bukannya satu keperluan.

Mantap adik-adik sekarang. Advanced! Adalah satu kelebihan apabila adik-adik diperkenalkan kepada topik ini dengan lebih awal sebenarnya.

Bagi adik-adik sesi persekolahan tahun 2020 dan 2021, mesti tertanya-tanya jugakan, “Apa itu Teori Graf?” “Kenapa perlu belajar?”, “Ala, pasal garis dan bucu saja.” Kan? Ke tak? Haha (gelak hambar).

Sebenarnya, di sebalik topik ini, terdapat satu sejarah yang panjang dan menarik tentang bagaimana terhasilnya topik atau cabang ini dalam Matematik. Daripada satu masalah, kemudian penyelesaiannya telah menjadi solusi yang diaplikasikan dalam kehidupan manusia dalam pelbagai perkara sehinggalah ke saat ini.

WUJUDNYA TEORI GRAF

Sejarah terciptanya Teori Graf tercatat pada kurun ke-18 apabila Sir Leonhard Euler mengkaji tentang satu masalah yang berlaku di tapak rekreasi Konigsberg, bandar Prussia. Masalah ini terkenal dengan nama ‘Königsberg Bridge Problem’.

Sumber foto : Jurnal ‘The Truth about Konigsberg’ @ The Mathematical Association of America

Diceritakan bahawa masyarakat di situ sering memanfaatkan masa petang mereka dengan bersiar-siar sekitar bandar mereka yang cantik. Bandar ini mempunyai empat kawasan yang dipisahkan dengan sungai Pregel. Kawasan-kawasan ini dihubungkan dengan tujuh jambatan; ‘Blacksmith’s bridge’, ‘Connecting bridge’, ‘High bridge’, ‘Green bridge’, ‘Honey bridge’, ‘Merchant’s bridge’, dan ‘Wooden bridge’.

Masalah yang ditimbulkan oleh masyarakat ketika itu ialah, boleh ke untuk mereka bermula di mana-mana antara empat kawasan itu, kemudian melalui setiap jambatan sebanyak sekali sahaja dan kembali ke titik asal?

Kemudiannya, masalah ini disampaikan kepada Euler. Mengikut pengkaji, bagaimana Euler mengetahui permasalahan ini pada awalnya tidak diketahui dengan tepat. Tetapi, mereka menemui beberapa surat daripada koleksi arkib di Akademi Sains St Petersburg yang menunjukkan beberapa bukti perbincangan mengenai permasalahan ini antara Euler dan Kuhn, seorang profesor Matematik tempatan, dan komunikasi tersebut dibantu oleh seorang orang tengah iaitu Ehler, yang merupakan Datuk Bandar ketika itu.

Pada tahun 1735, dikatakan bahawa Euler membentangkan solusi kepada masalah ini dengan pernyataan masalah berikut : “Apa sahaja penyusunan dan pembahagian sungai tersebut, dan berapa pun jambatan yang digunakan, boleh ke seseorang melalui setiap satu jambatan hanya sekali sahaja?”

Pada tahun 1736, Euler menulis solusinya dalam satu kertas bertajuk ‘Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis’ dan rajah di bawah telah muncul dalam kertas tersebut.

Mengikut catatan satu kajian, biarpun kertas ini bertarikh pada tahun 1736, tetapi belum diterbitkan sehinggalah tahun 1741, yang kemudiannya dikeluarkan semula dalam edisi terbaru yang baru muncul pada tahun 1752.

Dalam menyelesaikan masalah ini, Euler mempercayai bahawa wujudnya kaitan dengan geometri. Tetapi, geometri yang dimaksudkan bukanlah konsep yang telah ditemui dan diperkenalkan ketika zamannya yang melibatkan ukuran dan pengiraan. Tetapi, Euler mengaitkan masalah ini dengan konsep geometri yang pernah disebut oleh Leibniz, iaitu ‘Geometry of Position’.

Dalam kertasnya itu, Euler menyebut bahawa bidang ini hanyalah melibatkan penentuan posisi dan ciri-ciri, tanpa melibatkan jarak, mahupun sebarang pengiraan. Kemudian, Euler telah mengeluarkan teorem yng membawa kepada cabang Teori Graf.

Secara asasnya, cabang ini mengajar kita mengenai sebuah graf yang terdiri daripada set bucu (atau nod) yang terhingga dan satu set garis tepi. Setiap garis tepi mempunyai satu atau dua bucu yang dikaitkan dengannya, dipanggilnya titik akhir(endpoint). Garis tepi itu menghubungkan titik-titik akhirnya.

Sumber foto : International Journal of Indonesian Education and Teaching @ http://e-journal.usd.ac.id/index.php/IJIET Sanata Dharma University, Yogyakarta, Indonesia

PERKEMBANGAN TEORI GRAF

Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler, tidak berlaku sebarang perkembangan pada teori graf sehinggalah pada tahun 1874, G.R. Kirchoff dikatakan berhasil mengembangkan teori pohon yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian, A. Coyley menggunakan konsep pohon ini untuk menjelaskn permasalahan kimia yang melibatkan hidrokarbon.

Pada tahun 1859, teori graf dikaitkan dengan sebuah permainan yang memerlukan kepada pencarian laluan melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari 20 kota terkenal dunia yang ada dapat dilalui tepat hanya satu kali. Namun, tiada seorangpun yang berjaya menyelesaikannya.

Pada tahun 1920, hasil-hasil pemikiran para ahli matematik tentang teori graf telah dibukukan dan diterbitkan pada tahun 1936. Buku ini dianggap sebagai buku pertama tentang cabang ilmu matematik ini.

Kemudian, penggunaan teori graf ini terus berkembang dalam permasalahan yang melibatkan jaringan dan titik-titik yang disambungkan. Sejumlah besar kajian telah dijalankan, ribuan artikel telah diterbitkan dan buku-buku mengenai teori graf juga sudah banyak di pasaran berikutan perkembangan semasa yang memperlihatkan kegunaan cabang ini amat penting dalam pembangunan Negara seperti industri digital dan pengangkutan.

KESIMPULAN

Fuh! Menarikkan!

Bila tenung semula permulaan kisah permasalahan jambatan Konigsberg yang dibangkitkan, dapat dilihat bagaimana bijaknya cara fikir ahli masyarakat dan hebatnya sikap inkuiri mereka sehinggakan masalah sebegitu terus dibawa dan diterjemahkan kepada pakar dalam bidangnya untuk menyelesaikannya. Kemudian, sekecil-kecil masalah itu telah menjadi punca sumbangan ilmu yang bermanfaat sehinggalah ke generasi kini.

Patutlah Allah berulang kali sebut dalam Al-Quran supaya manusia itu memerhati dan berfikir kerana dalam dua tindakan inilah akan menghasilkan solusi kepada masalah kehidupan, baik di dunia apatah lagi akhirat.

Sebenarnya keadaan ini tidaklah baru kerana hakikat kewujudan setiap ilmu di dunia ini adalah bermula dengan sikap memerhati dan inkuiri manusia-manusia terdahulu yang membawa kepada pengkajian demi pengkajian sehingga terhasillah ilmu-ilmu yang kita pelajari sekarang. Bagi ilmuwan-ilmuwan Islam, Al-Quran dan Hadis menjadi sumber utama pengkajian bagi setiap ilmu. Manakala, ilmuwan-ilmuwan dalam tamadun bukan Arab juga menghasilkan ilmu dan pandangan daripada cara yang sama dan meletakkan kebenaran serta aspek ketuhanan sebagai paksinya.

Keadaan ini terus diwarisi oleh generasi-generasi setelah itu merentas tamadun dan benua sehingga dunia dimajukan dan disesuaikan dengan perubahan keadaan semasa manusia.

Di penghujungnya, hakikat utama yang perlu kita sedar bahawa semua ini merupakan cebisan ilmu Allah yang begitu luas tanpa bertepi sehinggakan Allah sebut dalam Al-Quran bahawa ilmu-Nya ini takkan pernah habis ditulis walaupun semua pohon di bumi dan air di lautan-lautan menjadi tinta (dakwat).

Subhanallah!

Sesungguhnya selagi manusia itu berfikir, selagi itulah akan tersingkap ilmu-Nya dengan izin-Nya untuk dipelajari dan diambil iktibar oleh semua makhluk.

Firman Allah dalam Surah Al-Jasiyah ayat 13 yang bermaksud,

“Dan Dia menundukkan apa yang ada di langit dan apa yang ada di bumi untukmu semuanya (sebagai rahmat) dari-Nya. Sungguh, dalam hal yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda (kebesaran Allah) bagi orang-orang yang berfikir.”

RUJUKAN

  • Jurnal Matematik “The truth about Konigsberg” (2004),

https://www.gss.ucsb.edu/sites/secure.lsit.ucsb.edu.germ.d7/files/sitefiles/news/conferences/euler/Hopkins1.pdf

  • Jurnal Teori Graf “An Historical Note : Euler’s Konigsberg Letters” (1988),

https://www.ime.usp.br/~yw/2016/grafinhos/aulas/Paper-Euler-Letters.pdf

  • Artikel “Introduction to Graph Theory” (2006),

http://www.math.utah.edu/mathcircle/notes/MC_Graph_Theory.pdf

  • Jurnal Matematik “Euler, Mei-Ko Kwan, Konigsberg, and a Chinese Postman” (2012),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DMJDMV/vol-ismp/16_groetschel-martin-yuan-ya-xiang.pdf

  • “Pengetahuan Dasar Teori Graph”,

http://eprints.binadarma.ac.id/536/1/TEORI%20GRAPH%20MATERI%202.pdf

Total
10
Shares
Leave a Reply

Your email address will not be published.

Related Posts